0,56 Mb.страница4/4Киселёва Кристина ВалерьевнаДата конвертации25.11.2012Размер0,56 Mb.Тип Смотрите также: 4 4. Необычные функции Существует много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.4.1.0. Функция Дирихле Функция Дирихле функция , принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число, . Поскольку функция разрывна в каждой точке: между любыми двумя рациональными числами есть хотя бы одно иррациональное, то её график нарисовать невозможно, но мысленно можно представить. Так как в любой окрестности любой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа (а значит, как нули, так и единицы функции), ни в одной точке у D(x) нет предела, а значит, она разрывна на всей числовой прямой, причём все точки разрыва второго рода. Функция Дирихле применяется в теории вероятностей и математической статистике. Названа в честь немецкого математика Дирихле. [13] 4.1.1. Свойства 1)Область определения: . 2) Область значения:{0,1}. 3) Функция Дирихле пример функции не интегрируемой в смысле Римана. Однако интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке может быть легко найден, он всегда равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю. 4) Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть, её нельзя представить как предел последовательности непрерывных функций, но можно задать как предел предела последовательности непрерывных функций: . 4.2.0. Функция Хевисайда Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например Другое распространённое определение: Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда. Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, , это также можно записать как: ^ 5. Функции, выражающие свойства чисел Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда, прежде всего, можно отнести специальные арифметические функции, модуль, знак числа, факториал.5.1.0. Арифметическая функция Арифметическая функция функция, определенная на множестве натуральных чисел N, и принимающая значения во множестве комплексных чисел C. 5.1.1. Определение Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций f(n) натурального аргумента n, которые выражают те или иные арифметические свойства. Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию f(n), которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа n. Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными. 5.2.0. Модуль Абсолютная величина (или модуль), обозначается |x|. В случае вещественного аргумента непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом: Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной. Он определяется по формуле: . 5.2.1. Основные свойства С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой. 5.2.2. Вещественные числа 1)Область определения: . 2)Область значений: . 3)Функция чётная. 4) Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке x = 0 функция претерпевает излом. 5.2.3. Комплексные числа 1) Область определения: вся комплексная плоскость. 2) Область значений: . 3) Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены. 5.2.4. Алгебраические свойства Для любых имеют место следующие соотношения: 1) 2) 3) Как для вещественных, так и для комплексных a,b имеют место соотношения: 1) , причём | a | = 0 тогда и, только тогда, когда a=0 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , если существует. 5.2.5. История Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века. 5.2.6. Обобщение Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ||x||. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма
4. Необычные функции - «Функции»
Комментариев нет:
Отправить комментарий